Скористаємось формулою (1) (перехід від горизонтальної системи координат до першої екваторіальної системи координат)

cos z= sinφ sinδ+cosφ cosδ cost   (1)

а також формулою п’яти елементів до сторони ZM і кута PZM:

sinz cos(180^o–A)= sin(90^o–φ)cos(90^o–δ) – cos(90^o–φ)sin(90^o–δ)cost ;

sinz cosA = – cosφ sinδ +sinφ cosδ cost   (2)

У добовому обертанні небесної сфери кожне світило двічі перетинає (або проходить) небесний меридіан: один раз південну його половину (t=0^h=0^o) і другий раз північну його половину (t=12^h=180^o). Явище проходження світилом південної половини небесного меридіану називається верхньою кульмінацією (лат. culmen– верх, вершина). У цей момент висота світила h найбільша, а z – найменша з усіх можливих на протязі доби.

У верхній кульмінації: t=0^o, тоді в (1) cost =1 отримаємо:

cosz = sinφ sinδ + cosφ cosδ = cos(φ–δ);

звідси z= ±(φ–δ)   (3)

У (2): sinz cosA = sinφ cosδ – cosφ sinδ = sin(φ–δ),

так як z i sinz завжди додатні, тоді при δ<φ → cosA = 1, а отже А=0^о, тобто якщо схилення (δ) світила менше географічної широти (φ) місця спостереження, то світило кульмінує на південь від Зеніта і його зенітна віддаль:

z_В=φ – δ   (4),

а висота: h_В=(90^о–φ) + δ   (5).

При δ>φ cosA= –1, A=180^o. Якщо схилення (δ) більше географічної широти (φ) місця, то світило кульмінує на північ від зеніту, між зенітом (Z) і північним полюсом світу (p) і зенітна віддаль:

z_В = δ – φ   (6),

висота: h_В =90^о – z_В = (90^о – δ) + φ   (7),

при δ = φ:

z_В = φ – δ = 0^о, h_В=90^о.

Отже через зеніт завжди проходить небесна паралель, схилення якої дорівнює географічній широті місця.

PZQSP’– південна половина небесного меридіана,

PNQ’Z’P’– північна половина небесного меридіана.

М₁, М₂, М₃ – у верхній кульмінації; δ₁=QM₁<φ; δ₂=QM₂=φ; δ₃=QM₃>φ; М₁М₁’, М₂М₂’, М₃М₃’– хорди, що зображають небесні паралелі світил М₁, М₂, М₃.

Нижньою кульмінацією називається проходження світил через північну половину небесного меридіана (пол. М’₁, M’₂, M’₃ )

У нижній кульмінації t=180^о=12^h, тому у формулі (1) cost = –1,

cosz =sinφ sinδ – cosφ cosδ = – cos(φ+δ)= cos(180^o–(φ+δ)).

Отже z_Н=180^о–φ–δ   (8),

h_Н=90^о–180^о+φ+δ = δ–(90^о–φ)   (9).

Рівність (9) дозволяє визначити, чи заходить світило в даній місцевості, або не заходить ніколи.

Якщо δ<+(90^о–φ), то h_Н<0, отже світило заходить.

Якщо δ≥+(90^о–φ), то h_Н≥0 – світило не заходить, тобто круглу добу знаходиться над горизонтом. Оскільки небесна сфера симетрична, тому світила зі схиленням: δ≤-(90^о–φ) взагалі не сходять в даній місцевості. Ця симетрія виражається правилом: круг світил, що не сходять дорівнює кругу світил, що не заходять.

Світила зі схиленням: -(90^о–φ)<δ<+(90^о–φ) – і сходять і заходять, причому положення точок сходу і заходу на істинному горизонті залежить від їх схилення.

1) δ=0^о: світило розміщено на небесному екваторі: сходить в точці сходу (Е), заходить в точці заходу (W); півдоби над горизонтом і півдоби під ним.

2) δ>0^о: точки сходу (а) і заходу (b) зміщенні від точок Е, W в сторону точки півночі (N) , світила більшу частину доби знаходяться над горизонтом і меншу під ним.

3) δ<0^о: точки сходу (с) і заходу (d) зміщенні від точок E, W в сторону т. півдня (S), світило меншу частину доби перебуває над горизонтом і більшу – під ним.