Астрономічний сайт ІФМІ

Жертовник
Жертовник

Астрологічний календар

Рухома карта

Ви можете самостійно зробити рухому карту зоряного неба. Скачайте і роздрукуйте зображення карти та рухомого круга (розширення 2008х2077).
Головна arrow Лекції arrow §31 Добовий паралакс і його практичне використання. Геоцентричні і топоцентричні координати
§31 Добовий паралакс і його практичне використання. Геоцентричні і топоцентричні координати Надрукувати
ПаралаксЗнаючи розміри Землі, можна геометрично знайти відстань до найближчих від Землі тіл сонячної системи. В основу визначення відстані до небесних тіл покладено метод визначення відстаней до недоступних об’єктів на Землі. Цей метод полягає в тому, що із двох розташованих на відомій відстані опорних пунктів А1 і А2 (рис.1) Землі визначаються кути α1 і α2. Відстань між опорними пунктами є базисом. Кут β між напрямками на одну і ту ж ціль М, яка спостерігається із опорних точок, називається паралактичним зміщенням об’єкту. Знаючи довжину базису і вимірявши кути α1 і α2, можна вирахувати відстань до об’єкту. 

У якості основного напрямку на світило М візьмемо напрямок із центру О Землі (рис.2). цей напрямок визначає так зване геоцентричне положення світила.

ПаралаксКут між напрямком на світило М з будь-якої точки С земної поверхні й напрямком із центру О Землі називається добовим паралаксом або просто паралаксом і позначається через р. Із означення паралаксу зрозуміло, що він змінюється із зміною висоти світила над горизонтом. Частковий випадок, коли світило знаходиться в зеніті, р = 0. найбільшу величину добовий паралакс має тоді, коли світило М1 знаходиться на горизонті. В цьому випадку паралакс називається горизонтальним і позначається через р0.

Горизонтальному паралаксу можна дати ще й інше визначення: горизонтальним паралаксом називається кут, під яким із світила видно радіус Землі, перпендикулярний до променя зору. Так як Земля не є строго сферою, то горизонтальні паралакси одного і того ж світила для різних положень спостерігача будуть різними. Щоб запобігти непорозумінням, домовились під горизонтальним паралаксом розуміти екваторіальний горизонтальний паралакс, тобто кут, під яким із світила видно екваторіальний радіус Землі. Величини горизонтальних паралаксів небесних світил дуже малі; наприклад, горизонтальний паралакс Місяця дорівнює 57′, у планет горизонтальний паралакс не перевищує 1′.

ПаралаксПромені, проведені до світила із центру Землі й точки С, радіус Землі R (рис.3) утворюють прямокутний трикутник, в якому гіпотенуза D являє собою відстань від світила до центру Землі. Використовуючи цей трикутник, відстань від центру Землі до світила D визначається за формулою:

D = R / sin p0   (1)


Як було сказано, горизонтальні паралакси небесних світил дуже малі, тому в попередній формулі sin p0 можна замінити дугою p0. Формула (1) (з врахуванням sin p0 =р0″sin1" та sin1" = 1 / 206265) набуде вигляду:
D = 206265 · R / р0″   (2)
де р0″ — паралакс, виражений в секундах дуги.

ПаралаксТаким чином, відстань до небесного тіла дуже просто визначається, якщо відомий горизонтальний паралакс. Слід зауважити, що для визначення відстані до світил необхідно знати екваторіальний радіус Землі. У довідниках і календарях координати небесних світил вказуються по відношенню до центра Землі. Такі координати світил називаються геоцентричними.

По відношенню до спостерігача, що знаходиться на поверхні Землі, координати того ж світила будуть іншими внаслідок паралактичного зміщення останнього. Знайдемо зв’язок між геоцентричними координатами світила й координатами того ж світила, що спостерігаються з поверхні Землі, які одержали назву топоцентричних координат.

Позначимо через М світило, через А спостерігача, розташованого на поверхні Землі, і через О центр Землі (рис.4). Зенітна відстань z′, яка спостерігається з поверхні, пов’язана з геоцентричною зенітною відстанню z рівністю
z – z′ + p = 0,
де р — паралакс світила, і, отже, для визначення зенітної відстані до центру Землі потрібно збільшити цю відстань на р:
z′ = z + p.
Азимут світила при цьому залишиться тим самим.

Позначимо через D відстань від світила до центру Землі і через R радіус Землі; за теоремою синусів із трикутника ОАМ одержимо:
D / sinz' = R / sinp,
звідки
sinp = sinz' · R / D.
Але так як R / D = sin p0, то sinp = sinz' · sin p0.

Враховуючи те, що паралакси дуже малі, то, замінюючи синуси дуг р і р0 самими дугами, одержимо: 
p = z' - z = p0 · sinz'   (3)
А це значить, що зміна зенітної відстані при приведенні спостережень до центру Землі пропорційна синусу зенітної відстані світила, виміряної з поверхні Землі, і відстані від світила до Землі, або горизонтальному паралаксу світила.

ПаралаксДля визначення горизонтального паралакса світила припустимо, що визначено зенітні відстані світила z′1 і z′2 у верхній кульмінації в двох пунктах Землі (наприклад Дрогобич та Київ), широти яких відповідно φ1 і φ2.

Розглянемо відповідно утворений чотирикутник МКОД (див. рис. 5). Як відомо з геометрії, сума усіх кутів дорівнює 360º. Визначимо всі кути цього чотирикутника. Кут ОДМ можна вирахувати, якщо використати рівність:
ОДМ = 180º– Z′Д.
Решта кутів визначаємо з рівностей
ДМК = рД – рК; МКД = 180º+ z′К; КОД = φД – φК.
Використовуючи ці рівності, одержимо:
рД – рК = z′Д – z′К – φД + φК.
Враховуючи все сказане, а також формулу (3), узагальнюючи дану формулу на довільні пункти спостереження отримаємо
33.8.jpg,
де δ1 і δ2 – значення схилення світила. Слід зауважити, що схилення світила δ1, широта місця φ1 і зенітна відстань z′1 в момент верхньої кульмінації зв’язані відношенням:
z′1 + δ1 – φ1 = 0,
звідки z′1 = φ1 – δ1.

ПаралаксТакі небесні світила, як Місяць і Сонце, спостерігаються на небесній сфері у вигляді дисків. Великі планети сонячної системи, за якими ведуть спостереження при допомозі сучасних телескопів, також мають вигляд дисків. Кут, під яким видно диск світила, називається кутовим діаметром світила. Половину цього кута, яку називають кутовим радіусом, позначимо через ρ″ (рис.6).

Нехай крім ρ″ відомо ще й відстань D від світила до Землі. Позначивши через r радіус світила, одержимо:
r = D · sinp".
Так як кутові радіуси світил завжди дуже малі, то останню формулу перепишемо у вигляді:
r = D · p" / 206265.
Виражаючи D через горизонтальний паралакс  p0, в кінцевому результаті одержимо:
r = R · p" / p0",
де R — радіус Землі.

У формули, що визначають відстань до небесних світил або їх розміри, в якості множника входить радіус Землі R. Значить, якщо радіус Землі задано в кілометрах, то і відстань до світил та їх розміри визначаються в кілометрах. Але всі відстані, навіть якщо обмежитися тільки сонячною системою (за винятком відстані до Місяця), настільки великі, що величина R виявляється занадто малою, а тому невдалою одиницею при вимірюванні відстаней до небесних тіл. Тому в якості одиниці вимірювання відстані в сонячній системі умовно вибирається середня відстань від Землі до Сонця. Ця відстань називається астрономічною одиницею (а.о.).

Для знаходження астрономічної одиниці необхідно виміряти горизонтальний паралакс Сонця. Теоретично це завдання не є складним. Однак практично безпосереднє вимірювання паралаксу Сонця пов’язане зі значними труднощами, так як цей паралакс дуже малий (менше 9″), а тому кути потрібно вимірювати з дуже великою точністю. А цьому в значній мірі перешкоджає нагрівання приладів сонячними променями. Саме тому паралакс Сонця вимірюється непрямим методом.

Виберемо планету малих розмірів так, щоб при спостереженні в телескоп вона виявилась світною точкою, яка в деякі моменти близько підходить до Землі. Перша вимога дозволяє дуже точно визначити положення планети на небесній сфері. Дійсно, якщо планету спостерігати у вигляді диску, то визначити координати центра цього диску було би важко. Інша вимога випливає з того, що чим ближче планета, тим більший її паралакс і, значить, точніше може бути виміряний. Цим вимогам задовольняє астероїд Ерот, який, наприклад, в лютому 1931 р. був від Землі на відстані всього 1.7 а.о.

Метод визначення паралаксу Сонця за допомогою паралаксу іншої планети (наприклад, Ерот) полягає в наступному: вибирається таке положення Сонця, коли різниця його довготи і планети складає 180º, тобто Сонце й планета розташовані по різні боки від Землі (рис. 7), позначивши через а і р¤ відповідно відстань від Землі до Сонця і його паралакс, запишемо:
R = a · sin р¤
33.7.jpg
Якщо а1 і р0 — відстань від Сонця до планети і її горизонтальний паралакс, то
R = (a1-a) · sin р0,
де R — радіус Землі. Прирівнюючи праві частини останніх рівностей, одержимо:
a · sin р¤ = (a1-a) · sin р0,
або, враховуючи малу величину паралаксів,
р¤ = ( a1/a - 1 ) · р0.
За третім законом Кеплера
a13 / T12 = a3 / T2 ,
де Т1 і Т — відповідно періоди обертання планети і Землі навколо Сонця, які визначаються спостереженнями. Звідси
 Паралакс

Одержана формула використовується для визначення паралаксу Сонця за величиною паралаксу якої-небудь планети. За підрахунками паралакс Сонця рівний
р¤ = 8",790 ± 0",001,
де 0″,001 — можлива помилка при обчисленні паралаксу. Відповідна величина середньої відстані від Землі до Сонця дорівнює: 1 а.о. = (149 674 000 ± 17 000) км. Слід вказати на велику точність, з якою визначена астрономічна одиниця. Дійсно, можлива помилка в 17 000 км складає всього близько 0,01% а.о. Однак для космічної галузі потрібне ще більш точне значення астрономічної одиниці. Такі виміри потребують іншого методу, що полягає на використанні радіохвиль. Радіолокаційні досліди планети Венера дали величину астрономічної одиниці, рівну (149 599 300 ± 2 000) км.